CIVILIZACIONES QUE APORTARON A LAS MATEMÁTICAS
A través de los tiempos el hombre poco a poco fue viendo la necesidad de contar, esto lo necesitaba para adaptarse al mundo, fue así como poco a poco fue descubriendo y analizando su habitad y de cómo sus acciones cotidianas permitieron que el hombre como ser pensante tuviera la necesidad de contar.
Una de las civilizaciones que más aportaron a las matemáticas fueron los egipcios que no solo florecieron intelectualmente sino que se adelantaron en muchas cosas que conocemos hoy en día como por ejemplo el arte, conocimientos acerca del cultivo, creencias astronómicas etc, el sistema de numeración egipcia permitía representar números desde uno hasta millones, desde el inicio del uso de la escritura jeroglífica. A principios del tercer milenio a.C. los egipcios disponían del primer sistema desarrollado decimal-numeración de base 10 aunque no era un sistema posicional, permitía el uso de grandes números y también describir pequeñas cantidades en forma de fracciones unitarias: las fracciones del Ojo de Horus.
Figura 1. Representación Egipcia
Tipo de sistema que utilizaban: el decimal
Aportaciones a las matemáticas: Los egipcios tuvieron grandes aportaciones para las matemáticas como el sistema decimal, supieron calcular la superficie, el volumen de pirámides, cilindro y esfera, álgebra, en la astronomía el calendario solar, relojes de sol (gnomos) y agua (clepsidras). Los primeros libros egipcios, muestran un sistema de numeración decimal con símbolos diferentes para las potencias de 10, similar a los números romanos. Los números se representaban escribiendo 1 tantas veces como unidades tenía la cifra dada, el 10, tantas veces como decenas tenía, y así sucesivamente. Para sumar, se sumaban en secciones diferentes las unidades, las decenas, las centenas... de cada número para obtener el resultado correcto. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso, utilizaban sumas de fracciones unidad (ð), junto con la fracción, para expresar todas las fracciones. En geometría encontraron reglas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, pirámides. Para calcular el área de un círculo, utilizaron un cuadrado de lado ð del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando pi 3.1416.
La india
Sin lugar a duda otra civilización que aporto notoriamente a las matemáticas fue la India, Albert Einstein consideraba que los indios fueron los que enseñaron la manera de contar, porque sin ellos no habría podido hacer sus descubrimientos científicos, Los arqueólogos sostienen que las matemáticas en la India se iniciaron a principios de la edad de hierro, con el desarrollo de la civilización Védica, (periodo anterior al Hinduismo y otras religiones hinduistas.) En un principio se utilizó para cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos.
– Shatapatha Brahmana (c. siglo 9 a.C.):
– Aproxima el valor de Π a 2 decimales
– Sulba Sutras (c. 800-500 a.C.):
-Utiliza números irracionales, números primos, la regla de tres y raíces cúbicas; calculan la raíz cuadrada de 2 con cinco decimales; daban el método para la cuadratura del círculo; resolvían ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas; desarrollaron algebraicamente ternas pitagóricas. A la India se le debe la creación de la técnica del algoritmo empleado en la informática actual. Entre el 200 a.C. y 200 d.C. Aparece el manuscrito escrito Bakhshali, el cual incluye soluciones de ecuaciones lineales con hasta cinco incógnitas, la solución de la ecuación de segundo grado, las progresiones aritméticas y geométricas, las series compuestas, las ecuaciones cuadráticas indeterminadas, las ecuaciones simultáneas, y el uso del cero y de los números negativos.
Figura 2. Representación de la India
Babilonia.
Esta civilización desarrollaba una escritura basada en símbolos escritos en arcilla, en esas mismas tablas hacían cálculos matemáticos, conocían la geometría, la aritmética, la escritura, la astronomía, la astrología, la estática, la mecánica y para poder hacer sus proyectos debían de dominar lo que hoy conocemos como aprovechamiento de recursos naturales y humanos, estudiaron las estrellas y desarrollaron la medida del tiempo, dividieron los años en 12 meses, determinaron los 12 signos zodiacales, las 12 horas del día y las 12 horas de la noche, los 60 segundos del minuto y los 60 minutos de la hora, su número más importante era el número 12 y sus múltiplos hasta llegar al 60.
Desarrollaron una forma abstracta de escritura basada en símbolos cuneiformes. Sus símbolos fueron escritos en tablas de arcilla mojada cocidas al sol. Miles de estas tablillas han sobrevivido hasta nuestros días. Gracias a ello, se ha podido conocer, entre otras cosas, gran parte de las matemáticas babilónicas. El uso de una arcilla blanda condujo a la utilización de símbolos cuneiformes sin líneas curvas porque no podían ser dibujadas.
El aspecto más asombroso de las habilidades de los cálculos de los babilonios fue su construcción de tablas para ayudar a calcular, de las tablillas babilónicas, unas 300 se relacionan con las matemáticas, unas 200 son tablas de varios tipos: de multiplicar, de recíprocos, de cuadrados, de cubos, etc. Los problemas que se planteaban eran sobre cuentas diarias, contratos, préstamos de interés simple y compuesto. En geometría conocían el Teorema de Pitágoras y las propiedades de los triángulos semejantes; en álgebra hay problemas de segundo, tercero e incluso de cuarto grado. También resolvían sistemas de ecuaciones.
Los babilonios usaban la siguiente fórmula para hacer la multiplicación más fácil, puesto que no tenían tablas de multiplicar.
Aún mejor es la fórmula:
Un ejemplo numérico es:
Cada una de estas civilizaciones aportaron para lo que hoy es las matemáticas, nos podemos dar cuenta que a medida que ellos necesitaban adaptarse más y la necesidad de poder contar tuvieron la capacidad de desarrollar diversas fórmulas para encontrar el resultado de lo que ellos estaban buscando.
Reseña 2
MATEMÁTICAS EN LA PREHISTORIA
Todos los pueblos han dirigió sus esfuerzo al estudio de las Matemáticas. El inicio de las matemáticas es similar al lenguaje y al arte.
El hueso de Ishango, datado en el paleolítico superior, hace 35.000 años, es uno de los primeros artilugios contables de la historia humana.
Actualmente discutimos si surgió en África hace unos 100.000 años o si aún tubimos que esperar a su surgimiento en Europa hace apenas 40.000. Lo que sí parece estar claro, por las características de las herramientas y otros parámetros, es que en el momento en el que situamos el origen de nuestra especie por sus características anatómicas, nuestras capacidades cognitivas no debieron ser muy distintas de las del hombre de Neandertal.
La visión estándar en historia de la matemática
La primera pieza a la que se han venido refiriendo los historiadores de la matemática es un hueso de lobo de unos 35.000 años, encontrado en Dolni Vestonice (Moravia, República Checa), donde también se descubrió una cabeza de mujer esculpida en marfil. En el hueso, de unos 18 centímetros de largo, se encuentran 55 muescas, las marcas se consideraban agrupadas de cinco en cinco y separadas por dos trazos intermedios más largos en dos series, una de 30 (= 6×5) muescas, y otra de 25 ( = 5 x 5).
Las muescas sugieren el registro contable de una colección con ese mismo número de objetos, pero no existe tal supuesto agrupamiento de cinco en cinco, que sugeriría en el autor una posible correspondencia de las marcas de cada grupo con los dedos de la mano.
Como antes, podrían aventurarse diferentes hipótesis acerca de los posibles contenidos matemáticos de la varilla más allá de las pretensiones meramente decorativas del autor. Pero para ello sería necesario estudiar la pieza directamente.
Realmente, el tipo y cantidad de materiales en los que indagar posibles manifestaciones simbólicas relacionadas con el registro de algunas cantidades empieza a ser notable. En la literatura sí se suele dar entrada a un asta de reno, fechado hace unos 15.000 años, hallado en Brassempouy (Las Landas, Francia), y conservado en el Museo de Aquitania de Burdeos. En él se encuentran marcados 1, 3, 5, 7 y 9 trazos rectilíneos, en una disposición que ha dado lugar a no pocas conjeturas en lo que se refiere a las pretensiones matemáticas de su autor.
Asta de Brassempouy
Así Ifrah la ha considerarlo una especie de “herramienta aritmética” que contiene una representación gráfica de los primeros números impares, así como una disposición que permite hallar rápidamente algunas propiedades elementales.
Placa de Gorge Enfer
En esta pieza no parece sencillo encontrar propiedades aritméticas tan sugerentes como en la precedente.
Hacia el registro del tiempo: la cota Marshack
Ciertamente, los diferentes grupos humanos del Paleolítico Superior pudieron sentir la necesidad de realizar registros contables de diferentes colecciones de objetos o sucesos. De entre estos últimos, uno debió ser, sin duda, el transcurrir del tiempo tomando como unidad el día, agrupándolos según meses lunares o, incluso, contemplando series temporales mucho más largas. Por supuesto, la certeza en la repetición constante en el tiempo de estos procesos pudo constituir una de las primeras motivaciones contables de nuestros antepasados:
La comunidad científica internacional tiene asumido que en África comenzaron a utilizarse instrumentos para contar desde hace 37.000 años: Deentre estas piezas destaca el Hueso de Lebombo , un peroné de babuino con 29 incisiones paralelas hallado, junto con otros trozos de madera y hueso grabados, en la Cueva de Border, en las montañas Lebombo entre Sudáfrica y Swazilandia. El hueso está fracturado, y no se sabe si originalmente tenía 29 ó 30 muescas (en el hueso completo no cabrían más incisiones); pero, en cualquier caso, es plausible su relación con el cómputo de días del mes lunar.
Numeración egipcia
El conocimiento de los métodos de cálculo de los egipcios y su aplicación en distintos problemas proviene de las inscripciones talladas en piedras, de los calendarios y sobre todo de algunos papiros. Entre los más antiguos cabe destacar, especialmente dos: el papiro Golenischevse que se conserva en Moscú y el papiro Rhind o de Ahmes que se encuentra en el British Museum
Los estudios matemáticos en el Antiguo Egipto tuvieron un origen práctico. Alcanzaron un gran nivel en las manipulaciones aritméticas pero sus métodos eran toscos y sin grandes generalizaciones. Casi no hay simbolismo y los egipcios eran poco dados a investigaciones abstractas. Trabajaron sobre todo en geometría y aritmética.
Desde el tercer milenio a.C., los egipcios crearon un sistema de numeración decimal, es decir contaban de 10 en 10, no tenían símbolo para el cero y utilizaban los jeroglíficos para representar los distintos órdenes de unidades.
El procedimiento era de tipo aditivo, es decir, las cifras eran repetidas. Así, por ejemplo, si el uno se escribía como una línea vertical, el cuatro era representado como cuatro líneas verticales. Un signo no se repetía más de nueve veces seguidas, ya que a la décima vez se utilizaba el número siguiente.
Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.
Como no importaba el orden, se escribían a veces según criterios estéticos y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban.
Pero en un principio los egipcios escribían los nueve primeros números colocando símbolos de la unidad, uno a continuación de otro; más tarde utilizaron la representación por desdoblamiento mientras los arameos de Egipto usaban un principio ternario:
Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al Imperio Romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas.
En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y así se introdujeron símbolos particulares para 20, 30, 90, 200, 300, 900, 2 000, 3 000… con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.
Estos jeroglíficos numéricos estaban reservados a las inscripciones sobre monumentos de piedra. Los escribas para realizar los documentos de tipo administrativo, astronómico, etc., fueron simplificando el trazo hasta obtener los llamados signos hieráticos. Por ejemplo, el 20 en notación jeroglífica se escribía , mientras en hierática se denotaba mediante .
El escriba o calculador egipcio realizaba operaciones aritméticas elementales, con números enteros y el uso casi exclusivo de fracciones unitarias. El papiro de Rhind contiene al principio una tabla en la que se expresan las fracciones de numerador 2 y de denominador impar entre 5 y 101, como suma de fracciones unitarias. Con ellas efectuaban las cuatro operaciones aritméticas con fracciones.
La naturaleza de los números irracionales no llegó a reconocerse en la aritmética egipcia. Las raíces cuadradas sencillas que aparecían en los problemas se expresaban mediante números enteros y fracciones.
Numeración Romana
La numeración romana es un conjunto de símbolos y reglas que se desarrolló en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio, que permiten construir todos los números válidos en el sistema.
En la numeración romana se usan algunas letras mayúsculas a las que se ha asignado un valor numérico.
En la actualidad se usan principalmente:
– En los números de capítulos y tomos de una obra
– En los actos y escenas de una obra de teatro
– En los nombres de papas, reyes y emperadores
– En la designación de congresos, olimpiadas, asambleas, certámenes…
– En algunos relojes
Símbolos
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1 000
Los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, así es que no existe ningún símbolo en el sistema de numeración romano que represente el valor cero.
Los múltiples símbolos pueden ser combinados para producir cantidades entre estos valores, siguiendo ciertas reglas en la repetición:
1. Cuando a la derecha de una cifra se escribe otra igual o menor, el valor resultante es la suma de los dos valores de las cifras
Ejemplo:
XI = 11
CC = 200
2. La cifra I colocada a la izquierda de la V o la X, le resta una unidad; a la derecha les suma una unidad
Ejemplo:
IV = 4 VI = 6
IX = 9 XI = 11
3. La cifra X colocada a la izquierda de la L o la C, les resta 10 unidades; a la derecha les suma 10 unidades
Ejemplo:
XL = 40 LX = 60
XC = 90 CX = 110
4. La C colocada a la izquierda de la D o la M, les resta 100 unidades; a la derecha les suma 100 unidades
Ejemplo:
CD = 400 DC = 600
CM = 900 MC = 1 100
5. Una cifra no se puede repetir más de 3 veces seguidas
Ejemplo:
XXXIV representa 34, en vez de XXXIIII
6. Las cifras V, L y D no se pueden duplicar, ya que, las cifras X, C y M representan sus valores duplicados
X representa 10 en lugar de VV
C representa 100 en lugar de LL
M representa 1 000 en lugar de DD
7. Si entre dos cifras cualquiera hay otra menor, ésta restará su valor a la siguiente
Ejemplo:
XIV = 14
CXL = 140
8. Un trazo horizontal sobre un símbolo, lo multiplica por 1 000
Ejemplo:
M = 1 000 x 1 000 = 1 000 000
Ahora que ya conoces los símbolos y reglas, si quieres escribir 1 609, deberás hacerlo así:
1 609 = 1 000 + 600 + 9 = M + DC + IX = MDCIX
Numeración Maya
Los mayas agruparon símbolos sumando hasta el 19, y a los números mayores les asignaron un valor según su posición.
Los números mayas se usaban para medir el tiempo y no las matemáticas. Por ese motivo tienen relación con los días, meses y años y en definitiva con el calendario. La numeración maya posee solo tres símbolos para representar los números, como podemos ver en el siguiente gráfico que representa en numeración maya los números del 0 al 19.
El valor del caracol era cero.
La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4.
El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.
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